Question

在平面直角坐标系中，的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的点到距离的最大值及该点坐标.

Answer

（1）的普通方程为；曲线C的直角坐标方程为（2）曲线C上的点到直线距离的最大值为，该点坐标为

【解析】

（1）先将直线的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，即可得解，要注意去除杂点；将曲线C的方程先去分母，再将，代入，化简即可求解；（2）先将曲线C的方程化为参数形式，再利用点到直线的距离公式，结合三角函数求最值，即可得解.

【解析】
（1）由（t为参数），得.

消去参数t，得的普通方程为；

将去分母得，

将代入，

得，

所以曲线C的直角坐标方程为.

（2）由（1）可设曲线C的参数方程为（为参数），

则曲线C上的点到的距离

，

当，即时，

，

此时，，

所以曲线C上的点到直线距离的最大值为，该点坐标为.