Question

对于函数定义已知偶函数的定义域为当且时，

（1）求并求出函数的解析式；

（2）若存在实数使得函数在上的值域为，求实数的取值范围.

Answer

（1），， （2）

【解析】

（1）按的规律，逐步计算观察发现对任意的，有 从而求出，由是偶函数可求得函数的解析式；

（2）由题意可知在上递减且，分和两种情况讨论，在时得出推出矛盾，在时可将问题转化为是方程的两个不相等的负实数根，转化为一元二次方程有两个不相等的负根，由根与系数的关系列出不等式组求出的取值范围

（1）因为

故

故对任意的，有

于是

故当时，

又，故当时，

由为偶函数，当时，

因此，，即；

（2）由于的定义域为，

又可知与b同号，且，

函数的图象，如图所示

若，则在上单调递增，有，

所以，解得，不符合题意，舍去；

若，则在上单调递减，由题意，有

故是方程的两个不相等的负实数根，即方程在上有

两个不相等的实根，于是

综合上述，实数的取值范围为