Question

如图：在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为、.过右焦点与轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的一个顶点为，求点M到直线的距离；

（3）过中点的直线交椭圆于P、Q两点，求长的最大值以及相应的直线方程.

Answer

（1）；（2）；（3），

【解析】

（1）设右焦点为，令，代入椭圆方程，可得，，解方程可得，，进而得到椭圆方程；（2）求得直线的方程，由点到直线的距离公式，计算即可得到所求值；（3）过中点的直线的方程设为，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理即可得到弦长的取值范围，再由斜率为0，求得直线方程，代入椭圆方程，求得的长，即可得到最大值．

（1）设右焦点为，

令，代入椭圆可得，由，即有，，

又，解得，，

则椭圆方程为.

（2）由题意可得，，

直线的方程为，

则点到直线的距离为；

（3）过中点的直线的方程设为，

代入椭圆方程，可得，
由于中点在椭圆内，故直线与椭圆相交，

设交点，，即有，，

弦长

，

令，

则，

当，即时，取得最小值，

即有，

当直线时，代入椭圆方程，可得，

即有，

综上可得，的最大值为，此时直线方程为．