Question

已知数列是公差的等差数列，且．

（1）求的前项的和；

（2）若，问在数列中是否存在一项（是正整数），使得成等比数列，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）若存在自然数（是正整数），满足，使得成等比数列，求所有整数的值．

Answer

（1）54（2）存在，（3），或1．

【解析】

（1）利用等差数列的前项和公式及其性质，即可得出结果．

（2）由，且．可得，可得．假设存在一项（是正整数），使得成等比数列，可得，解出即可得出．

（3）由题意可得：，．公差．可得，化为：，求解，再进行分类讨论，即可得出结果．

【解析】
（1）由题意，.

（2）由，且．可得，解得，，可得.

假设存在一项（是正整数），使得成等比数列，

则，，解得．

∴存在一项，使得成等比数列．

（3）由题意可得：，．

公差．

，

化为：，

解得，或．

∴当时，，满足题意．

当时．化为，即，

解得或1．

综上可得：或1．