Question

已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，问：直线是否定向的，请说明理由．

Answer

（1）；（2）不定向，理由见解析.

【解析】

（1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为，列出方程组能求出椭圆的标准方程；

（2）由题意设直线的方程为，联立直线与椭圆的标准方程，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质，结合已知条件能求出直线的方向向量，由此能说明直线不定向.

（1）设椭圆的焦距为，由已知得，解得，，

椭圆的标准方程为；

（2）由题意可设直线的方程为，

联立，消去并整理，得，

计算，此时设、，

则，，

于是，

又直线、、的斜率依次成等比数列，，整理得，，即，，，解得，

则直线的方向向量为，即直线是不定向的.