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已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍,焦距为. (1)求椭圆的标准方程; (2)不过原...

已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍,焦距为

1)求椭圆的标准方程;

2)不过原点的直线与椭圆交于两点,且直线的斜率依次成等比数列,问:直线是否定向的,请说明理由.

 

(1);(2)不定向,理由见解析. 【解析】 (1)由椭圆的长轴长是短轴长的两倍,焦距为,列出方程组能求出椭圆的标准方程; (2)由题意设直线的方程为,联立直线与椭圆的标准方程,由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质,结合已知条件能求出直线的方向向量,由此能说明直线不定向. (1)设椭圆的焦距为,由已知得,解得,, 椭圆的标准方程为; (2)由题意可设直线的方程为, 联立,消去并整理,得, 计算,此时设、, 则,, 于是, 又直线、、的斜率依次成等比数列,,整理得,,即,,,解得, 则直线的方向向量为,即直线是不定向的.
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