Question

如图，正方体中，，P，Q分别是棱和的中点.

（1）求异面直线和所成角的大小；

（2）求以，，P，Q四点为四个顶点的四面体的体积.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，分别求出坐标，进而求得坐标，按照空间向量夹角公式，求出夹角余弦的绝对值，即可求解；

（2）由已知条件可得平面，求出的面积，即可求出三棱锥体积.

（1）以D为原点，方向为x轴正方向，

方向为y轴正方向，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．

得，，，．

故，．

设与所成的角的大小为．

则．

故与所成的角的大小为．

（2）该四面体是以为底面，P为顶点的三棱锥．

由正方体可得平面，四边形为正方形，则且，

P，Q分别是棱和的中点，则且，

所以，四边形为平行四边形，所以，得平面，

所以P到平面的距离，的面积．

因此四面体的体积．