Question

设数列满足，其中A，B是两个确定的实数，

（1）若，求的前n项和；

（2）证明：不是等比数列；

（3）若，数列中除去开始的两项外，是否还有相等的两项，并证明你的结论.

Answer

（1）（2）证明见解析（3）没有，理由见解析

【解析】

（1）由，数列的前n项和为一个等比数列和一个等差数列的前项和，根据等比、等差数列的前项和公式，即可求解；

（2）用反证法证明，求出，假设是等比数列，由得出关系，化简，不满足，所以假设不成立，即可证明结论；

（3）由，得出，且，得，设，证明是递增数列，可得结论.

（1），故前n项之和

（2），，．

若是等比数列，则

即，即．

因，故，且．

此时，，，，不满足．

因此不是等比数列．

（3）即，即，且．

此时，．

设．

，

当且仅当时等号成立，故．

即除外，的各项依次递增．

因此中除去和之外，没有其它的两项相等．