Question

设双曲线方程为，过其右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于A，B两点，直线的方程为，A，B在直线上的射影分别为C，D.

（1）当垂直于x轴，时，求四边形的面积；

（2），的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限，试比较与1的大小；

（3）是否存在实数，使得对满足题意的任意，直线和直线的交点总在轴上，若存在，求出所有的值和此时直线和交点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）存在，，此时两直线的交点为．

【解析】

（1））当垂直于x轴，直线方程为，四边形为矩形，将代入双曲线方程，求出坐标，得出，即可求解；

（2）设的方程为，，设两点的纵坐标分别为，将的方程与双曲线方程联立，得到关于的方程，根据韦达定理得出关系，结合，,，将根据线段长公式化简,

再利用点在双曲线上可得，由,

即可得出结论；

（3）设，，则，，求出直线和直线的方程，利用两条直线相交在轴上，可得，将关系，代入，得对一切都成立，有，求出交点的横坐标，即可求解.

（1）右焦点的坐标为．故．

联立解得．故，

又，故四边形的面积为；

（2）设的方程为，这里．

将的方程与双曲线方程联立，得到

，即．

由知，此时，

由于，故，

即，故，因此；

（3）由（2）得．（有两交点表示）

设，，则，．

的绝对值不小于，故，且．

又因直线斜率不为零，故．

直线的方程为．

直线的方程为．

若这两条直线的交点在轴上，则当时，

两方程的应相同，即

．

故，

即．

现，，

代入上式，得对一切都成立．

即，．

此时交点的横坐标为

．

综上，存在，，此时两直线的交点为．