Question

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；

（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．

Answer

（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

试题（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）直线l的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2-12）]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．
（3）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为，由，，能求出结果．

试题解析：

（1）因为左顶点为，所以，又，所以

又因为，

所以椭圆的标准方程为．

（2）直线的方程为，由消元得

化简得，，

所以

当时，，

所以.因为点为的中点，所以点的坐标为，

则.

直线的方程为，令，得点的坐标为，

假设存在定点使得,

则，即恒成立，

所以恒成立，所以即

因此定点的坐标为.

（3）因为,所以的方程可设为，

由得点的横坐标为

由，得

，

当且仅当即时取等号，

所以当时，的最小值为．