Question

设数列共有项，记该数列前项，，…，中的最大项为，该数列后项，，…，中的最小项为，（1，2，3，…，）.

（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；

（2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式；

（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由.

Answer

（1），；（2），；（3）见解析.

【解析】

（1）由单调递增，可得，，即可得到；

（2）由题意可得，即，又因为，2，3，，，所以单调递增，可得是公差为2的等差数列，进而得到所求通项公式；

（3）构造，其中，，运用新定义即可得证．

【解析】
（1）因为单调递增，

所以，，

所以，；

（2）根据题意可知，，，

因为，所以，

可得，即，

又因为，2，3，，，所以单调递增，

则，，所以，即，，

所以是公差为2的等差数列，，；

（3）构造，其中，，

下证数列满足题意．

证明：因为，所以数列单调递增，

所以，，

所以，，

因为，

所以数列单调递增，满足题意．