Question

如图，直线与抛物线交于两点，线段的垂直平分线与直线交于点，当为抛物线上位于线段下方（含）的动点时，则面积的最大值为______.

Answer

30

【解析】

把直线方程抛物线方程联立求得交点，的坐标，则中点的坐标可得，利用的斜率推断出垂直平分线的斜率，进而求得垂直平分线的方程，把代入求得的坐标；设出的坐标，利用到直线的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形，利用的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．

直线与抛物线联立，得到，，

从而的中点为，

由，直线的垂直平分线方程．

令，得，

．

直线的方程为，设．

点到直线的距离，，

，

为抛物线上位于线段下方的点，且不在直线上，

或．

函数在区间，上单调递增，

当时，的面积取到最大值30．

故答案为：30．