Question

已知为复数，为纯虚数，

（1）当求点的轨迹方程；

（2）当时，若为纯虚数，求：的值和的取值范围.

Answer

（1）；（2），．

【解析】

（1）设，，，则为实数，可得，因此，或．通过分类讨论即可得出．（2）由（1）可得：①时，，由，可得，利用基本不等式的性质即可得出．②时．，由于，即可得出的取值范围．由为纯虚数，化简可得，再利用模的计算公式、函数的单调性即可得出．

（1）设，，，

则为实数，

，，或．

①时，

，，

时，解得．时，．

综上可得：时，点的轨迹方程是．

②时．

，

，，

解得．

因此时．可得：点的轨迹方程是．

（2）由（1）可得：①时，

，，

时，；时，．

综上可得：时，，点的轨迹无方程．

②时．

，

，，

解得．

为纯虚数，

，

，，

解得，．

，

，

．

，．