Question

动圆与圆相外切且与轴相切，则动圆的圆心的轨迹记，

（1）求轨迹的方程；

（2）定点到轨迹（1）上任意一点的距离的最小值;

（3）经过定点的直线，试分析直线与轨迹的公共点个数，并指明相应的直线的斜率是否存在，若存在求的取值或取值范围情况.

Answer

（1）当时，；当时，；（2）时，的最小值为；（3）见解析.

【解析】

（1）设出动圆圆心的坐标，利用动圆与轴相切且与圆外切建立方程，化简得答案；（2）设的坐标，利用两点间的距离公式结合配方法求得定点到轨迹上任意一点的距离的最小值；（3）写出过斜率存在的直线方程，联立直线方程与抛物线方程，由判别式等于0求得值，再结合图形求得直线与轨迹的公共点个数，并分析对应的斜率情况．

（1）设动圆圆心的坐标为，则

，

当时，；当时，；

（2）如图，由图可知，到轨迹上的点与的距离最小，则在抛物线上，

设，则．

当，即时，的最小值为；

（3）设过与抛物线相切的直线方程为，即，

联立，得．

由△，解得：或．

又,

当直线的斜率不存在时或斜率存在为0时或直线的斜率，，时，与有1个交点；

当直线的斜率为或或，时，与有2个交点；

当直线的斜率，，时，与有3个交点．