Question

设关于x的函数y＝2cos²x－2acosx－(2a＋1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)＝的a的值，并求此时函数的最大值．

Answer

5

【解析】

试题先化为二次函数形式，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法，根据最小值为，解得a的值，代入最大值关系式可得最大值

试题解析：解 令cosx＝t，t∈[－1,1]，

则y＝2t2－2at－(2a＋1)

＝2(t－)2－－2a－1，

关于t的二次函数的对称轴是t＝，

当<－1，即a<－2时，

函数y在t∈[－1,1]上是单调递增，

所以f(a)＝f(－1)＝1≠；

当>1，即a>2时，

函数y在t∈[－1,1]上是单调递减，

所以f(a)＝f(1)＝－4a＋1＝，

解得a＝，这与a>2矛盾；

当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，

f(a)＝－－2a－1＝，

即a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3，

因为－2≤a≤2，所以a＝－1.

所以y＝2t2＋2t＋1，t∈[－1,1]，所以当t＝1时，

函数取得最大值ymax＝2＋2＋1＝5.