Question

已知两个正数a，b满足a+b=1

（1）求证：；

（2）若不等式对任意正数a，b都成立，求实数x的取值范围．

Answer

（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

试题本题主要考查基本不等式的应用，绝对值不等式的解法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．第一问，由条件利用基本不等式将数字1进行转化即可证得结论；第二问，将不等式对任意正数a，b都成立，转化为恒成立，由题意可得，分类讨论，去掉绝对值，求得它的解集．

试题解析：（1）证明：∵两个正数a，b满足a+b=1，

∴，当且仅当时取等号，

∴成立．

（2）由题意结合（1）可知，只须，

而当时，解不等式得，

当时，解不等式得，

当x≥2时，解不等式得，

综上：的解集为．