Question

设函数.

（1）当时，对于一切，函数在区间内总存在唯一零点，求的取值范围；

（2）若区间上是单调函数，求的取值范围；

（3）当，时，函数在区间内的零点为，判断数列，，…，，…的增减性，并说明理由.

Answer

（1）；（2）或；（3），，…，，…是递增数列，理由见解析.

【解析】

（1）当时，化简在区间内有唯一零点及函数的单调性可知且；从而可得对于恒成立且，从而求得的取值范围；

（2）由在区间，上是单调函数，利用单调性的定义可设，从而化为或对于恒成立，化为恒成立问题解得．

（3）当，时，，，

从而可得；再由得，

从而可得，

可证明；再由函数在区间，上是增函数知；从而证明．

（1）当时，在区间内有唯一零点，

因为函数在区间上是增函数，

所以且；

即且，

由对于恒成立得；

所以的取值范围为.

（2）在区间上是单调函数，设，

，

由题知或对于恒成立，

因为，

所以或.

（3）数列，，…，，…是递增数列，证明如下：

当，时，，，

在区间上的零点是，

所以；

由知，，

所以，

设在区间上的零点为，

所以，

即；

又函数在区间上是增函数，

所以；

即数列，，…，，…是递增数列.