Question

过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是的中点；

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）当P坐标为时，求直线l的方程；

（3）求证：是一个定值．

Answer

（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

(1)根据渐近线的方程直接求解即可.

(2)根据题意求出点P坐标,再根据中点坐标公式求解的坐标,进而求得直线l的斜率,再利用点斜式求解方程即可.

(3) 设,,,根据P是的中点求出,,进而求得,最后利用双曲线的方程求解即可.

（1）双曲线的,,可得双曲线的渐近线方程为,

即为；

（2）令可得,解得,（负的舍去）,设,,

由P为的中点,可得,,解得,,

即有,可得的斜率为,

则直线l的方程为,即为；

（3）证明：设,即有,设,,

由P为的中点,可得,,解得,,

则为定值．