Question

设数列的前项和为，若，则称是“数列”.

（1）若是“数列”，且，，，，求的取值范围；

（2）若是等差数列，首项为，公差为，且，判断是否为“数列”；

（3）设数列是等比数列，公比为，若数列与都是“数列”，求的取值范围.

Answer

（1）； （2）见解析； （3）.

【解析】

（1）根据数列的新定义，列出不等式组且，，即可求解；

（2）由等差数列，得到，进而得出，再由的单调性，得到，即可得到结论；

（3）设等比数列的公比为，分和时，结合数列的新定义，即可作差判定.

（1）由题意，数列满足，称是“数列”，

又由，，，，可得且，

解得，即的取值范围是.

（2）由题意，数列的通项公式为，

则，

又由，可得数列随着的增大而减小，

所以当时，取得最大值，所以，

所以数列是“数列”.

（3）由题意得，等比数列的公比为，

由数列是“G的数列”，可得，即，

①当时，所以，则，符合题意，

②当时，则，则，

因为数列是“G的数列”，所以对恒成立，

（i）当时，，

即对恒成立，

因为，

所以，

所以当时，对恒成立；

（ii）当时，，

即对恒成立，

因为，

所以，解得，

又，所以不存在满足题意，

综上可得，数列的公比的取值范围是.