Question

设关于x的方程2x²﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），函数

（1）证明f（x）在区间（α，β）上是增函数；

（2）当a为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．

Answer

（1）见解析,(2) 当a=0时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.

【解析】

（1）证明：设Φ（x）=2x2﹣ax﹣2，则当α＜x＜β时，Φ（x）＜0．

f′（x）=＞0，∴函数f（x）在（α，β）上是增函数．

（2）由关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），

可得α β，f（α） ，f（β）=，

即有f（α）•f（β） =﹣4＜0，

函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，

∴当且仅当f（β）=﹣f（α）=2时，

f（β）﹣f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，

此时a=0，f（β）=2．当a=0时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．