Question

梯形中，，矩形所在平面与平面垂直，且，.

（1）求证：平面平面；

（2）若P为线段上一点，且异面直线与所成角为45°，求平面与平面所成锐角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意证出，先利用面面垂直的性质定理，证出平面，再利用面面垂直的判定定理即可证出.

（2）以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出点坐标，再求出平面的法向量，平面的法向量，根据向量的数量积即可求解.

（1）证明：作中点M，

由题则有：，且，又

∴四边形为菱形，，

又且，，

又平面平面，且交于，平面，

平面，

∴平面平面

（2）如图建系，则有，，

设，，，，

，，即

设平面的法向量为，，，

令，则，，

设平面的法向量为，，，

令，则，，

，