Question

已知函数（，e为自然对数的底数）.

（1）若，求的最大值；

（2）若在R上单调递减，

①求a的取值范围；

②当时，证明：.

Answer

（1）1；（2）①，②证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的导函数，利用导函数与函数单调性的关系当，求出单调递增区间，当，求出函数的单调递减区间，进而可求出最大值.

（2）①求出对恒成立，化为对恒成立，记，讨论值，求出的最小值即可证出；②由题意可得，即，两边取对数可得，下面采用分析法即可证出.

（1）时，

时，，在上单调递增

时，，在上单调递减

（2）由

①在R上单调递减，对恒成立，

即对恒成立，记，

则对恒成立，

当时，，符题

当时，时，，在上单调递减

时，，在上单调递增；

当时，时，，在上单调递减

时，，在上单调递增；

综上：

②当时，在上单调递减，，

，，.

要证，即证

下面证明

令，，则，

在区间上单调递增，，得证