Question

如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线分别与线段和直线交于点.

(1) 若，求的值；

(2) 若，为线段的中点，求证: 直线与该抛物线有且仅有一个公共点.

(3) 若，直线的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问是否一定为线段的中点? 说明理由.

Answer

(1) ；(2) 证明见解析；(3)是，理由见解析.

【解析】

（1）设，，，则，联立直线方程和抛物线方程，消去后利用韦达定理可得关于的方程，从而可求的值.

（2）设，用表示直线的方程，联立该直线的方程和抛物线的方程后可得该方程组有且只有一组解，故直线与抛物线相切.

（3）设，利用（2）的结果可得切线的方程，求出的坐标和直线的方程后，联立直线的方程和抛物线的方程，消去后利用韦达定理可求中点的横坐标，可证它就是的横坐标，从而一定为线段的中点.

（1） 设，，

由得，故，从而.

又，故，解得或，

舍去负值，得.

（2）由（1）得，，故，故.

设在上，且满足，又，

故直线的方程为，

而.

故，

由得，故方程组有唯一解，

故直线与该抛物线有且仅有一个公共点.

（3）设，这里，

由（2）知过与有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为.

令得，故，

又 ，所以.

由 ，故

这样是的中点.