Question

在数列中，若是正整数，且，，则称为“D-数列”.

(1) 举出一个前五项均不为零的“D-数列”(只要求依次写出该数列的前五项)；

(2) 若“D-数列”中，，，数列满足，，写出数列的通项公式，并分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值(若不存在不需要交代理由)；

(3) 证明: 设“D-数列”中的最大项为，证明: 或.

Answer

(1) ；(2) ，不存在，存在，；(3) 证明见解析.

【解析】

（1）依照定义写出数列即可.

（2）计算可得为周期数列，且周期为3，故可得与的通项公式，根据通项公式可判断数列的极限存在与否.

（3）利用反证法可证明或.

(1) 如等等.

(2) 因为，，故，，，

故为周期数列，且周期为3，其通项公式为.

的极限不存在.

而时，，所以的极限存在，.

(3) 由题设有或.

假设且.

注意到.

故对一切，均有，这与的最大项为矛盾，从而假设不成立，或.