Question

已知函数，若同时满足以下条件：

①在D上单调递减或单调递增；

②存在区间，使在 上的值域是，那么称为闭函数．

（1）求闭函数符合条件②的区间 ；

（2）判断函数是不是闭函数？若是请找出区间；若不是请说明理由；

（3）若是闭函数，求实数的取值范围．

Answer

（1），；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由在R上单减，列出方程组，即可求的值；

（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知 即，结合对数函数的单调性可判断

（3）易知在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组 有解，方程至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围

【解析】
（1）∵在R上单减，所以区间[a，b]满足，

解得a=﹣1，b=1

（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增

假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则，即

∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点

故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数

（3）易知在[﹣2，+∞）上单调递增．

设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程至少有两个不同的解

即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．

∴ 得，即所求．