Question

定义符号函数，已知，.

（1）求关于的表达式，并求的最小值.

（2）当时，函数在上有唯一零点，求的取值范围.

（3）已知存在，使得对任意的恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）；最小值为（2）（3）

【解析】

（1）根据已知求出，分析其单调性可得函数的最小值；

（2）当时，，由得：，即，令，，在同一坐标系中分别作出两个函数在上的图象，数形结合可得答案；

（3）若存在，使得对任意的恒成立，则对任意的恒成立，分类讨论可得答案.

（1）函数，.

，，

，

由在上为减函数，在上为增函数，

故当时，的最小值为；

（2）当时，函数，

当时，，

由得：，即，

令，，

在同一坐标系中分别作出两个函数在上的图象，如下图所示：

,

当射线过点时，，

当射线与相切时，，

当射线过点时，，

由图可得：当时，两个函数图象有且只有一个交点，

即函数在上有唯一零点；

（3）时，，

由得：，

，且对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

在上单调递增，故当时，取最大值，

，的最小值为：，

①，解得：；

②，解得：；

③解得：，

综上可得：.