Question

已知椭圆(为参数),存在一条直线,使得此直线被这些椭圆截得的线段长都等于,求直线方程_____.

Answer

【解析】

先判断出椭圆 (为参数)表示中心在直线上，长轴长和短轴长分别为4,2的一组椭圆，判断出符合条件的直线需要与直线平行，设出直线方程，先利用一个特殊的椭圆与直线方程联立求出直线的方程，再证明对于所有的椭圆都满足条件.

解:椭圆 (为参数)可化为，

所以表示中心在直线上,长轴长和短轴长分别为4,2的一组椭圆，而所求的直线与这组椭圆种的任意椭圆都相交，

若所求的直线与直线不平行，则必定存在椭圆与直线不相交，

于是，设所求直线的方程为，

因为此直线被这些椭圆截得的线段长都等于，则直线与椭圆所得到弦长为，设弦的两端点为，，

由得，所以，，

所以，即，

解得，

设直线与椭圆 (为参数)，相交所得的弦长为，弦的两端点为：，，

则由得，

所以，，

因此

所以直线与椭圆 (为参数)相交所得的弦长为.

同理可证,对任意,椭圆 (为参数)与直线相交所得弦长为.