Question

斜三棱柱中,底面是边长为的正三角形,侧棱长为,侧棱与底面相邻两边､都成角,求此三棱柱的侧面积和体积.

Answer

,

【解析】

先判断斜三棱柱的三个侧面的形状，分别求出面积再相加，即为斜三棱柱的侧面积；斜三棱柱的体积等于底面积乘高，因为底面三角形是边长为的正三角形，面积易求，所以只需求出高即可，利用所给线线角的大小即可求出高，进而可求出体积.

解:(1)∵侧棱与底面相邻两边､都成角,

∴三棱柱的三个侧面中，四边形和是有一个角是，相邻两边长分别为,的平行四边形，第三个侧面是边长分别为，的矩形.

∴；

(2)过作垂直于底面，交底面于点，作交于点，作交于点，连接，，

因为平面，所以，

又，

所以平面，所以；同理：；

由题意，则，，

又，所以，

由，，为公共边，

可得：，所以，

∴,因此，

∴.