Question

若数列前项和为

(1)若首项,且对于任意的正整数均有,(其中为正实常数),试求出数列的通项公式.

(2)若数列是等比数列,公比为,首项为,为给定的正实数,满足:①,且②对任意的正整数,均有;试求函数的最大值(用和表示)

Answer

(1)(2)

【解析】

(1)先根据,(其中为正实常数),求出,然后利用进行求解,注意验证首项;

(2)先求出,然后根据条件判定的符号,从而确定的单调性,从而求出最大值.

解:(1)∵,(其中为正实常数),

∴，所以当时，，因为，所以

∴当时，即,

所以数列从第二项起，是以为公比的等比数列，所以时，，

∴

(2)由题意，因为

所以

∵,且对任意的正整数,均有，

∴

，

因为，由题中条件可得：，，，，，，，

所以，，

即，

∴是一个关于的单调递减的函数,最大值为.