Question

数集M满足条件：若，则.

（1）若，求集合M中一定存在的元素；

（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；

（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.

Answer

（1）集合M中一定含有的元素为：；（2）不能,理由见解析；（3）M中的元素个数为4，，理由见解析.

【解析】

(1)令，利用，则依次类推即可得出集合M中一定存在的元素；

(2)由题意利用无解，可得出集合M中不能只有一个元素；

(3)利用已知条件，则，以此类推得出集合M中出现4个元素，，，，且互不相等，当取不同的值时，集合M 中将出现不同组别的四个元素，所以可得出集合M中元素的个数为4，.

(1)由，令，则由题意关系式可得：

，，，

而，所以集合M中一定存在的元素有：.

(2)不，理由如下：

假设M中只有一个元素a，则由，化简得，无解，所以M中不可能只有一个元素.

（3）M中的元素个数为4，，理由如下：

由已知条件，则，以此类推可得集合M中可能出现4个元素分别为：，，，，由(2)得，

若，化简得，无解，故；

若，化简得，无解，故；

若，化简得，无解，故；

若，化简得，无解，故；

若，化简得，无解，故；

综上可得：，所以集合M一定存在的元素有，当取不同的值时，集合M 中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M中元素的个数为4，.