Question

已知数集(,)具有性质P;对任意的i,j(),与两数中至少有一个属于A.

(1)分别判断数集与是否具有性质P,并说明理由;

(2)证明:,且;

(3)当时,若,求集合A.

Answer

(1) 数集不具有性质P. 数集,具有性质P.见解析 (2)见解析 (3)

【解析】

(1)根据性质P;对任意的i,j(),与两数中至少有一个属于A,验证给的集合集与中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素;

(2)由性质P,知,故,

从而,.再验证又由于

,,,…,,

从而,命题得证;

(3)根据(2),只要证明即可求得集合A.

解:(1)由于,与或均不属于数集,

∴该数集不具有性质P.

由于,,,,,,,,,都属于数集,

∴该数集具有性质P.

(2)证明:∵具有性质P,

∴与中至少有一个属于A,

由于,∴

故.

从而,.

∵,,∴(),

故().

由A具有性质P可知().

又∵,,,…,,

从而,

∴;

(3)由(2)知,当时,

有,,即,

∵,∴,

∴,

由A具有性质P可知.

由,得,

∴,

∴

即,,,,是首项为1,公比为等比数列,

即有集合.