Question

如图，三棱锥中，，，.

（1）求证：；

（2）若二面角的大小为且时，求的中线与面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析，（2）

【解析】

(1) 取中点,连,,证明平面即可.

(2) 由(1)在平面内作,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面角的正弦值或直接利用向量的关系求解即可.

（1）证明：取中点,连,,∵,,

∴,,平面,且,

∴平面,又平面,∴.

（2）由（1）知是二面角的平面角,

∴,又由平面知平面平面,

所以在平面内作,则面,可建如图坐标系,

又易得,故在中由余弦定理可得,

于是可得各点坐标为,,,,

∴,∴,

又平面的一个法向量为,

所以直线与面所成角的正弦值.

法二：由（1）知是二面角的平面角,∴.

作于,则由平面知平面,且,

又易得,故在中由余弦定理可得,∴.

又为中点,所以到平面的距离.

因为,,,∴,

∴.

所以直线与面所成角的正弦值.