Question

已知点是抛物线：的焦点，直线与抛物线相切于点，连接交抛物线于另一点，过点作的垂线交抛物线于另一点.

（1）若，求直线的方程；

（2）求三角形面积的最小值.

Answer

（1），（2）16

【解析】

(1)求得,再设直线的方程,联立抛物线方程令二次方程求解即可.

(2)设切线的方程为,,,根据,,三点共线求得,再化简求得到直线的距离,进而表达出三角形面积,再利用基本不等式的方法求最小值即可.

（1）由得,

设直线的方程为,

由得,

因为直线与抛物线相切,故,解得.

故所求直线的方程,即.

（2）设切线的方程为,,,

又由,,三点共线,故,,,

化简可得,,

,

由得,

因为直线与抛物线相切,故,即,

故直线的方程为,,

因此点到直线的距离为

,

由得,,,

故,

所以

等号成立当且仅当,即时等号成立.

此时三角形面积的最小值为16.