Question

已知函数，.

（1）求证：在上单调递增；

（2）若关于的方程在区间上有三个零点，求实数的值；

（3）若对任意的，恒成立（为自然对数的底数），求实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析，（2），（3）

【解析】

(1)求导后分析导函数的正负得单调性即可.

(2)求导后分析的单调性,进而根据在区间上有三个零点数形结合求解即可.

(3)根据的单调性求得关于的表达式,进而分析最值求解即可.

（1）,∵,∴,故在上单调递增.

（2）,

令,,,

故当,,,,

即在上单调递减；在上单调递增.,

若在区间上有三个零点,则,.

（3）在上单调递减；在上单调递增.

故,,

令,∴,

故,∴,

因为,设则,故为增函数,

又.

∴.