Question

如图，已知直三棱柱的底面是直角三角形，．

Ⅰ求证：平面；

Ⅱ求二面角的余弦值；

Ⅲ求点到平面的距离．

Answer

Ⅰ证明见解析ⅡⅢ

【解析】

(Ⅰ)根据直三棱柱中可以为坐标原点建立空间直角坐标系,求解平面的法向量并证明即可.

(Ⅱ)分别求解ABD的一个法向量与平面的一个法向量,利用二面角的向量公式求解即可.

(Ⅲ)根据线面垂直的关系可得点到平面的距离为,再求解即可.

依题意,以C为原点,CB为x轴,为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系,

则,

，,

Ⅰ证明：,

设平面的一个法向量为,则,

令,则,

,即,

平面；

Ⅱ,

设平面ABD的一个法向量为,则,

令,则,

又平面的一个法向量为,

,

即二面角的余弦值为；

Ⅲ设点到平面的距离为d,则易知,而,

点到平面的距离为．