Question

已知椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，若右焦点到直线的距离为3．

Ⅰ求椭圆C的方程；

Ⅱ设椭圆C与直线相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E．

当时，射线OE交直线于点为坐标原点，求的最小值；

当，且时，求m的取值范围．

Answer

Ⅰ；Ⅱ（i）；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）利用点到线的距离公式与求解即可.

（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程,求出关于两点M,N的二次方程与韦达定理,继而得出点的坐标,再化简求得的解析式,利用的关系换元求最值即可.

当,且时,则,再表达出斜率的关系式化简利用的关系求m的取值范围即可.

Ⅰ,设椭圆的右焦点,由题意得：,解得：,

所以椭圆的方程：；

Ⅱ）（i）设,,将直线与椭圆联立整理得：,

即,

且，,

所以MN的中点,

所以射线OE：,与直线的交点,所以,

所以,当且仅当,

所以时有最小值2．

（当,且时,则,所以,即,解得,

所以m取值范围．