Question

已知函数．

Ⅰ讨论的单调性；

Ⅱ若对恒成立，求实数a的取值范围；

Ⅲ当时，设为自然对数的底若正实数满足，证明：

Answer

Ⅰ见解析ⅡⅢ证明见解析

【解析】

Ⅰ求导后讨论的取值范围进行分析即可

Ⅱ参变量分离后有恒成立,再设函数求导分析最大值即可.

Ⅲ先证：存在,使得,利用导数的几何意义列构造函数,代入所证明的表达式中的自变量化简分析即可.

Ⅰ函数的定义域为,

当时,,函数在上单调递增；

当时,令解得,令解得,故此时函数在上单调递增,在上单调递减；

Ⅱ对恒成立,即为对任意的,都有,

设,则,令,则,

在上单调递减,且,

当时,单调递增；

当单调递减,

,

实数a的取值范围为．

Ⅲ证明：当时,,不妨设,

下先证：存在,使得,

构造函数,显然,且,

则由导数的几何意义可知,存在,使得,即存在,使得,

又为增函数,

,即,

设,则,

,

,

由得,,

即