Question

如图，四棱锥C的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．

（1）求证：AF∥平面PEC

（2）求证：平面PCD⊥平面PEC；

（3）求三棱锥C-BEP的体积．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）

【解析】

19、证明: （Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，

∴FG为△CDP的中位线，

∴FGCD，……………………………………… 1分

∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，

∴ABCD，Z.X.X.K]

∴FGAE，

∴四边形AEGF是平行四边形，

∴AF∥EG，

又EG平面PCE，AF平面PCE，………… 3分

∴AF∥平面PCE；……………………………… 4分

（Ⅱ）∵ PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A，

∴CD⊥平面ADP，

又AF平面ADP，∴CD⊥AF，…………………………………………………………… 6分

直角三角形PAD中，∠PDA=45°，

∴△PAD为等腰直角三角形，

∴PA＝AD=2，……………………………………………………………………………… 7分

∵F是PD的中点，

∴AF⊥PD，又CDPD=D，

∴AF⊥平面PCD，…………………………………………………………………………… 8分

∵AF∥EG，

∴EG⊥平面PCD，…………………………………………………………………………… 9分

又EG平面PCE，

平面PCE⊥平面PCD；……………………………………………………………………… 10分

（Ⅲ）三棱锥C－BEP即为三棱锥P－BCE，………………………………………… 11分

PA是三棱锥P－BCE的高，

Rt△BCE中，BE=1，BC=2，

∴三棱锥C－BEP的体积

V三棱锥C－BEP=V三棱锥P－BCE

=．…………… 14分