Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点．

（1）求证：EF∥平面PAB；

（2）若PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P-AE-B的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用AB∥平面PCD，可得AB∥EF，即可证明；（2）取AD中点O，连结OP，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AE-B的余弦值．

（1）矩形ABCD中，AB∥CD，

∵AB⊄面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AB∥平面PCD，

又AB⊂平面ABE，

平面PCD∩平面ABE=EF，

∴AB∥EF，

∵EF⊄面PAB，AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB．

（2）取AD中点O，连结OP，

∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，

∴PO⊥底面ABCD，连接OB，则OB为PB在平面ABCD内的射影，

∴∠PBO为PB与平面ABCD所成角，根据题意知sin∠PBO=，

∴tan∠PBO=，由题OB=，∴PO=2

取BC中点G，连接OG，以O为坐标原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，

B（1，4，0），设P（0，0，2），C=（-1，4，0），E（-，2，1）

，

设平面PAE的法向量为，

于是，

令x=2，则y=1，z=1

∴平面PAE的一个法向量=（2，1，1），

同理平面ABE的一个法向量为=（2，0，3），

∴cos= 

可知二面角P-AE-B为钝二面角

所以二面角P-AE-B的余弦值为-．