Question

已知，，是椭圆：上的三点，其中的坐标为，过椭圆的中心，且椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）当直线的斜率为1时，求面积；

（3）设直线：与椭圆交于两点，，且线段的中垂线过椭圆与轴负半轴的交点，求实数的值.

Answer

（1）；（2）6；（3）.

【解析】

（1）由题意可得，再由正三角形的条件可得，解得，进而得到椭圆方程；

（2）由题意写出点坐标，直线方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点、的纵坐标，，代入数值即可求得面积；（3）联立直线与椭圆方程消掉得的二次方程，设，，，，线段的中点，，由韦达定理及中点坐标公式可用表示出中点坐标，由垂直可得，解出即得值，注意检验△．

（1）的坐标为，，即有，

椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，

可得，解得，

则椭圆的方程为；

（2）直线的方程为，

代入椭圆方程，得，

；

（3）由得，△，

依题意，，设，，，，线段的中点，，

则，，，，，

由，得，解得．

所以实数的值为．