Question

设为实数，函数．

（1）若函数是偶函数，求实数的值；

（2）若，求函数的最小值；

（3）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”．如函数是上的平均值函数，就是它的均值点．现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

试题（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在，使得”从而转化为一元二次方程有解问题．

试题解析：【解析】
（1）是偶函数，在上恒成立，

即，所以得

（2）当时，

所以在上的最小值为，

在上的的最小值为f（）＝，

因为＜5，所以函数的最小值为．

（3）因为函数是区间上的平均值函数，

所以存在，使

而，存在，使得

即关于的方程在内有解；

由得

解得所以即

故的取值范围是