Question

已知函数在区间上的最大值为4，最小值为1，记为.

（1）求实数，的值；

（2）若不等式成立，求实数的取值范围；

（3）对于任意满足的自变量，，，…，，如果存在一个常数，使得定义在区间上的一个函数，恒成立，则称函数为区间上的有界变差函数，试判断函数是否是区间上的有界变差函数，若是，求出的最小值；若不是，请说明理由.

Answer

（1），；（2），，；（3）函数为区间，上的有界变差函数． 的最小值为4．

【解析】

（1）由的对称轴得在区间，上是增函数，得方程组求出，即可；（2）由（1）求出的表达式，解不等式求出即可；（3）由的表达式得为，上的单调递增函数，根据有界变差函数的概念求出即可．

（1），

又，在区间，上是增函数，

故，

解得，．

（2）由（1）得：，

故是偶函数，

不等式（2）可化为，

解得，，．

（3），

为，上的单调递增函数，

则对于任意满足，的自变量，，，，，

有（1）（3），

（3）（1）

，

存在常数，使得．

所以函数为区间，上的有界变差函数．即的最小值为4．