Question

如图，直三棱柱中，，，，，M、N分别是和的中点.

（1）求异面直线与所成的角；

（2）求三棱锥的体积.

Answer

（1）（2）2

【解析】

（1）过A作AQ∥C1N，交A1C1于Q，连接B1Q，可得∠B1AQ（或其补角）是异面直线AB1与C1N所成角．在△B1AQ中，分别求出AB1、AQ和B1Q的长，结合余弦定理算出cos∠B1AQ的值，从而得到异面直线AB1与C1N所成的角是arccos；

（2）平面A1B1C1中，过M作MH⊥A1C1于H．根据直三棱柱的性质结合面面垂直的性质定理，得到MH⊥平面AA1C1C，MH是三棱锥M﹣C1CN的高．算出MH的长和△C1CN的面积，结合三棱锥的体积公式，可得三棱锥M﹣C1CN的体积．

（1）平面AA1C1C中，过A作AQ∥C1N，交A1C1于Q，连接B1Q

∴∠B1AQ（或其补角）就是异面直线AB1与C1N所成的角

矩形AA1C1C中，N是AC中点，可得Q是A1C1中点

Rt△AA1B1中，AB15，同理可得AQ

∵等腰Rt△A1B1C1中，B1Q是斜边的中线

∴B1QA1B1＝2，

△B1AQ中，cos∠B1AQ0

∴∠B1AQ＝arccos，即异面直线AB1与C1N所成的角等于arccos；

（2）平面A1B1C1中，过M作MH⊥A1C1于H

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，CC1⊆平面AA1C1C

∴平面AA1C1C⊥平面A1B1C1，

∵平面AA1C1C⊥平面A1B1C1＝A1C1，MH⊥A1C1，

∴MH⊥平面AA1C1C，MH是三棱锥M﹣C1CN的高线

∵△B1C1Q中，M是B1C1中点，MH∥B1Q

∴MH是△B1C1Q的中位线，得MH

∵△C1CN的面积SCN×C1C23＝3

∴三棱锥M﹣C1CN的体积32