Question

已知函数，为实数.

（1）讨论在上的奇偶性；（只要写出结论，不需要证明）

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）当时，求函数在上的最大值.

Answer

（1）时，奇函数：时，非奇非偶函数；

（2）时，递增；时，在和上递增，在上递减；

（3）当，；当，.

【解析】

（1）因为,可得,对进行讨论,结合奇偶函数的定义即可求得答案;

（2）分别讨论和两种情况,即可求得时,函数的单调区间;

（3）结合（2）的结论,根据单调性,即可求得函数在上的最大值.

（1）

当时,,此时是奇函数

当时,是奇函数非奇非偶函数.

（2）

①当时,,

此时，函数在区间和上均为增函数，又该函数在上连续，

所以，函数的单调递增区间为；

②当时, ，

当时，，当时，，

函数在和上递增,在上递减.

综上所述，时，递增；时，在和上递增，在上递减；

（3）由（2）可知当时,为增函数,

当时,

此时对称轴为:,

当,此时函数在上递减,

,

若,解得,此时，

即当时，函数在闭区间上最大值为，

若,解得时,函数在闭区间上最大值为.

综上所述,当,;

当,.