Question

（1）若动点到定点的距离与到定直线：的距离之比为，求证：动点的轨迹是椭圆；

（2）设（1）中的椭圆短轴的上顶点为，试找出一个以点为直角顶点的等腰直角三角形，并使得、两点也在椭圆上，并求出的面积；

（3）对于椭圆(常数)，设椭圆短轴的上顶点为，试问：以点为直角顶点，且、两点也在椭圆上的等腰直角三角形有几个？

Answer

（1）见解析（2）（3）见解析

【解析】

（1）假设动点坐标,利用条件,建立等式,化简可判断动点的轨迹;

（2）根据条件可知,,应是关于轴对称,将直线方程与椭圆方程联立,从而可求 长,故可求面积;

（3）与（2）相同的求法,将直线方程与椭圆方程联立,求,的长,利用即可得出答案.

（1）动点到定点的距离与到定直线：的距离之比为

，化简可得:， 动点的轨迹是椭圆.

（2） 椭圆方程为,

又 等腰直角三角形是以为直角顶点，

不妨设点在轴左侧,则点在轴右侧，

若直线、关于轴对称且该三角形为等腰直角三角形，可取，则，

,,

联立椭圆方程和直线方程可得:，

消掉:可得:，解得

故,可得

根据两点间距离公式可得:

等腰直角三角形是以、为直角边,

；

（3）椭圆方程为,，设,

联立椭圆方程和直线方程可得:，

消掉可得:, 解得，

又 根据弦长公式可得:，

同理可得，

， ，

化简可得: ,即:，

可得或

当且，即时,有三个解,即这样的三角形有个；

当时，即当时，方程为，解得，这样的三角形只有个；

当时，即当时，只有一个解,即这样的三角形有个.