Question

已知数列的前项和为，数列是首项为0，公差为的等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列；

（3）对（2）中的，求集合的元素个数.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）根据等差数列的通项公式,即可求得答案;

（2）由（1）,求得,根据 且 成等差数列,即可求得,即可求证数列为等比数列;

（3）要求集合中整数的个数,关键是求出与的特征,的特征与的奇偶性有关,可运用二项式定理研究其性质,当为奇数时,,同样可得,则集合的元素个数为.同样求出为偶数时的个数即可.

（1） 数列的前项和为,数列是首项为,公差为的等差数列

,

当时,

当时,

综上所述,,.

（2）由（1）

则

且 成等差数列,

为常数,

为等比数列.

（3）①当为奇数时

同理可得,

则集合的元素个数为

②当为偶数时,同理可得的元素个数为

综上所述,集合的元素个数:.