Question

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面底面ABCD,且,若E,F分别为PC,BD的中点.

(I)求证:EF//平面PAD;

(II)求三棱锥F-DEC的体积;

(III)在线段CD上是否存在一点G,使得平面平面PDC?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.

Answer

（I）证明见解析；(II)；(Ⅲ)  的中点为满足条件的点

【解析】

（I）连接交于,利用三角形的中位线定理即可得到,再利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）取的中点,连接．由等腰三角形的性质可得,再利用面面垂直的性质可得底面,计算出三棱锥的高,利用三棱锥的体积计算公式即可得出；
（III） 易得的中点满足条件,再证明平面即可证明平面平面PDC.

(Ⅰ)证明：连接,则是的中点,在中, ，

∵平面，平面，

∴平面；

(Ⅱ)如图，取的中点，连接.

∵，∴.

∵侧面底面，侧面底面，平面，

∴底面.

∵为的中点，∴三棱锥的高为，

∵，且，∴，∴,

∴三棱锥的体积是.

(Ⅲ) 的中点为满足条件的点

证明：取的中点,连接,

则因为E,F分别为PC,BD的中点,为的中点,故为的中位线,

故,平面，平面，故平面.

同理平面.因为,故平面平面.

又正方形,故,

又侧面底面，侧面底面,平面，

故平面,故平面.

又平面,故平面平面PDC

故的中点为满足条件的点.