Question

已知函数 .

(1)当时,讨论的单调性；

(2)设，当时,若对任意,存在使,求实数取值.

Answer

（1）当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增；当时,函数在上单调递减；

当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增;函数在上单调递减；（2）．

【解析】

（1）先求定义域，再对函数求导， ，

令 ，分，，，，四种情况考虑h(x)零点情况及正负情况，得函数f(x)的单调区间。

（2）因为,由于(I)知,在上的最小值为，

由题意可知“对任意,存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函数的“三点一轴”分类讨论求得g(x)的最小值，再求得b范围。

(1)定义域

因为

所以

令

(i)当时,

所以当时, ,此时,函数单调递增;

当时, ,此时,函数单调递增

(ii)当时,由,

即,解得

①当时, ，恒成立,此时,函数在上单调递减;

②当时,

时, ,此时,函数单调递减；

时, ,此时,函数单调递增；

时, ,此时,函数单调递减；

③当时,由于

时, ,此时,函数单调递减；

时, ,此时,函数单调递增；

综上所述:

当时,函数在上单调递减；

函数在上单调递增；

当时,函数在上单调递减；

当时,函数在上单调递减；

函数在上单调递增;

函数在上单调递减

(2)因为,由于(I)知, ,当时, ,

函数单调递减:当时, ,函数单调递增,所以在上的最小值为

由于“对任意,存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”

又,,所以

①当时,因为 ,此时与矛盾

②当时,因为,同样与矛盾

③当时,因为，解不等式

可得

综上, 的取值范围是．