Question

将全体自然数填入如图所示的 3 行无穷列的表格，每格只填一个数字，不同格内的数字不同. 对于正整数、，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对于任意𝐍，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集𝐍的“友好数对”.

第1行					…
第2行					…
第3行					…

（Ⅰ）试判断数对与是否是𝐍的“友好数对”，并说明理由；

（Ⅱ）若，问：是否存在，使得数对是𝐍的“友好数对”？若存在，给出满足条件的一个的取值，并写出相应的表格填法，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）试给出使得数对是𝐍的“友好数对”的一个充分条件.（结论不要求证明）

Answer

（Ⅰ）数对(1,2)是，理由见解析；数对(1,3)不是，理由见解析；（Ⅱ）存在，𝑏 = 6，表格见解析；（Ⅲ）𝑏 = 2𝑎

【解析】

（Ⅰ）对于数对，可知对于任意，，，必在不同行，代数检验即可判断；

（Ⅱ）取𝑏 = 6，第 1 行填写被 9 除余 0，1，2 的数，第 2 行填写被 9 除 3，4，5 的数，第 3行填写被 9 除 6，7，8 的数，满足条件；

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可归纳猜想可得.

【解析】
（Ⅰ）数对(1,2)是的“友好数对”，

对于任意，，，必在不同行，

按如下方式填表：

第1行

0

3

6

9

…

第2行

1

4

7

10

…

第3行

2

5

8

11

…

数对(1,3)不是的“友好数对”，理由如下：

取 n  0，则0，0+1=1，0+3=3不同行，不妨 0 在第一行，1 在第二行，3 在第三行.

取 n 1，则1，1+1=2，1+3=4不同行， 所以 2，4 均不在第二行，且在不同行；

取 n  3，则3，3+1= 4，3+3=4不同行， 即 4 不在第三行， 所以 4 在第一行，

因为 1,2,4 不同行，所以 2 在第三行，即 2 与 3 同行.

又取 n  2，则2，2+1=3，2+3=5不同行，矛盾；

（Ⅱ）存在满足条件的正整数𝑏，使得数对(𝑎,𝑏)是的“友好数对”.

取𝑏 = 6，按如下方式填表：

第1行

0

1

2

9

10

11

…

第2行

3

4

5

12

13

14

…

第3行

6

7

8

15

16

17

…

（第 1 行填写被 9 除余 0，1，2 的数，第 2 行填写被 9 除 3，4，5 的数，第 3行填写被 9 除 6，7，8 的数.）

（Ⅲ）𝑏 = 2𝑎.