Question

如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，，点是线段的中点，过的平面交平面于，且，，且，，.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）先证明四边形是平行四边形，可得，则可证明平面，再利用线面平行的性质定理证明；

（2）先证明，，两两垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系，求出，再求出平面的一个法向量，可得直线与平面所成角的正弦值，进一步求解余弦值.

（1）证明：因为且，所以四边形是平行四边形，所以，

平面，平面，所以平面，平面，

平面平面，

所以；

（2）在中，因为，，

所以由正弦定理，即，

所以，∴，∴在中

所以，

因为是等腰三角形，且，点是线段的中点，

得，，，

在中，，为中点，所以，

又由已知且，故平面，

又平面，所以；

在中，由，，可知，

易知四边形为平行四边形，所以，

故，，两两垂直；

所以建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设平面的一个法向量为，

又，，所以，

即,令，解得，，

所以为平面的一个法向量，

因为，设直线与平面所成的角为，

则，

∴，

故直线与平面所成角的余弦值为.