Question

已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：是等比数列，并求的通项公式；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）证明见解析 ，，（3）

【解析】

（1）列方程求出数列的公差，进而可直接求出其通项公式.

（2）利用，可得是等比数列，进而可求其通项公式；

（3）代入和，将恒成立，转化为对恒成立，求出的最大值，即可得实数的取值范围.

（1）设等差数列的公差为，∵，∴，

∴，即；

（2）∵，∴，

∴，∴，（常数）

又，也成立，

∴是以1为首项，3为公比的等比数列，∴；

（3），∴对恒成立，

即对恒成立，

令，，

当时，，当时，，

∴，故，

即的取值范围为.